алгебра 10 класс
Тема урока: ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ
Цель: -Систематизировать навыки и умения применять знания о производной при
решении задач прикладной направленности;
-Развивать навыки логического мышления, сопоставления, анализа на
математическом материале;
-Формировать основные группы компетентностей учащихся на различных
этапах урока ;
-Воспитывать культуру умственного труда.
Тип урока: Урок решения прикладных задач.
Ход урока
І. Проверка домашнего задания – формирование самообразовательной компетентности
(Самостоятельная работа с последующей самопроверкой; содержит задания, аналогичные домашним упражнениям)
|
ЗАДАНИЕ
|
ОТВЕТ
|
|
ВАРИАНТ – 1
|
ВАРИАНТ – 2
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
Найти  , если :
|
-2
|
-1
|
1
|
2
|
|
|
|
|
Напишите уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой  если:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите наибольшее(В-1) и наименьшее(В-2) значение функции на отрезке  , если:
|
18
|
2
|
-18
|
-2
|
|
|
|
Ответ: В-1 - 331
В-2 - 413
ІІ. Актуализация опорных знаний – формирование познавательной компетентности
(Фронтальный опрос)
- Дать определение непрерывной функции в точке.
- Какую функцию называют возрастающей/убывающей?
- Что представляют собой max и min функции?
- Как определить критические точки функции?
ІІІ. Мотивация учебной деятельности – формирование информационной компетентности
Решение многих практических задач часто сводится к определению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Ведь и возникновение математического анализа явилось следствием из необходимости решать практические задачи на нахождение оптимальных значений величин, например:
- увеличение урожайности с гектара пашни;
- получение балки с наибольшим прямоугольным сечением из круглого бревна;
- ограждение земельного участка наибольшей площади изгородью заданной длины и т.д.
Поэтому целью нашего урока является систематизация навыков и умений учащихся по применению знаний, полученных в ходе изучения темы «Производная и ее применение» к решению задач этого типа, а так же для решения различных физических задач.
IV. Систематизация навыков и умений по решению практических задач при помощи производной – формирование интеллектуальной, поликультурной, познавательной компетентностей
ЗАДАЧА 1: Заготовлена изгородь длиной 480м. Этой изгородью надо огородить с трех сторон,
примыкающий к реке, участок. Какова должна быть ширина и длина участка, чтобы его
площадь была наибольшей при заданной длине изгороди?
(Параллельно с решением данной задачи, составить и записать алгоритм решения задач на нахождение max/min функции – формирование познавательной, самообразовательной и социальной компетентностей)
РЕШЕНИЕ:
 S=AB·BC
Пусть АВ=х, тогда ВС= 480-2х
S(х) = х · (480 - 2х) = 480х - 2х2
D(х) = (0;240), т.к. S(х) > 0
480х – 2х2 > 0
2х · (240 – х) > 0
х1 = 0, х2 = 240
0 < х < 240
S? (x) = 480 - 4x
S? (x) = 0, 480 - 4x =0
x = 120
Т.о. Smax = S (120) = 28800м2 при АВ = 120м и ВС = 240м
Ответ: при ширине 120м и длине 240м площадь участка будет наибольшей.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ :
- определить исследуемую функцию;
- ввести переменную;
- установить область определения функции;
- вычислить max/min функции на заданном интервале.
ЗАДАЧА 2: Дан прямоугольный лист жести (АВ = 80см, ВС = 50см). Надо вырезать около всех углов
одинаковые квадраты так, чтобы после загибания оставшихся кромок получилась открытая
сверху коробка максимальной вместимости.
РЕШЕНИЕ:
 V(x) = ( 80-2x)( 50-2x)x = 4x3 – 260x2 – 4000x
D(V) = (0;25), т.к. V(x) > 0
( 80-2x)( 50-2x)x > 0
x1 = 40, x2 = 25, x3 = 0
0 < x < 25
V′ (x) = 12x2 – 520x + 4000
V′ (x) = 0, 12x2 – 520x + 4000 = 0
3x2 – 130x + 1000 = 0
D = 4900
x1 = 10, x2 = 
x1 Є (0;25)
Vmax (x) = V(10) = 1800см3
Ответ: Объем коробки будет максимальным, если сторона вырезаемого квадрата равна 10см.
ЗАДАЧА 3 : Пусть электрическая лампочка движется с помощью блока вдоль вертикальной прямой ОВ.
На каком расстоянии от горизонтальной плоскости следует ее разместить, чтобы в точке А
этой плоскости освещённость была наибольшей (ОА = а, ∟ОАВ =  , ВА = r)?
РЕШЕНИЕ:
 
Пусть ВО = х, тогда  ,  где 0 < х < + ∞
Значит, 
Т.к. функция Е(х) имеет одну критическую точку, а в условии сказано, что существует положение лампочки, при котором освещенность в точке А наибольшая, то х является искомой точкой.
Ответ: для достижения наибольшей освещенности лампочка должна висеть на высоте  .
ЗАДАЧА 4 : Вписать в данный шар радиуса R цилиндр с наибольшей боковой поверхностью
( рассмотреть два способа решения).
(опережающее задание для учащихся, интересующихся математикой – формирование продуктивной творческой компетентности)
РЕШЕНИЕ :
І способ - геометрический
 Sб = 2π , т.к.  то Sб = 2π
Рассмотрим и преобразуем выражение :
 наибольшее=R4, когда 
Тогда  , а значит Sб = 2π .
Ответ: наибольшее значение Sб =  , при  .
ІІ способ - алгебраический
 Sб = 2π
Т.К. это Sб = 2π
Обозначим  , тогда Sб = 2π
Рассмотрим  , 0< х < 4
 , 
max =  , т.о. Sб max = Sб ( ) = .
Ответ: искомый цилиндр имеет Sб = .
V. Применение производной в решении физических задач – формирование интеллектуальной, социальной компетентностей
(Самостоятельная работа с одновременным решением за доской, для последующей проверки результата)
ВАРИАНТ -1 ВАРИАНТ - 2
Материальная точка массой 3кг Материальная точка массой 4кг
движется по прямой согласно движется по прямой согласно
уравнению  уравнению 
( S измеряется в метрах, t – ( S измеряется в метрах, t - в
в секундах ). Найти действующую секундах ). Найти действующую
на неё силу в момент времени t=2. на неё силу в момент времени t=3
РЕШЕНИЕ: РЕШЕНИЕ:
|
t=5c
m=3кг
|
F=ma
a=V′(t)
V=S′(t)
|
t=3c
m=4кг
|
|
F-?
|
F-?
|
F=ma
a=V′(t)
V=S′(t)
V=6t2-2 V=3+6t2
a=12t a=12t
a(5)=5·12=60(м/с2) а(3)=12·3=36(м/с2)
F=3·60=180(H) F=4·36=144(H)
Ответ: 180Н Ответ: 144Н
VI. Итог урока:
В ходе урока были систематизированы навыки и умения по применению знаний о производной для решения различных типов задач, сводящихся к нахождению оптимальных значений величин; использованию механического смысла производной.
VII. Домашнее задание – формирование самообразовательной и интеллектуальной компетентностей
ЗАДАЧА 1 . Вписать в данный конус, радиус основания которого R и высота Н, цилиндр, имеющий наибольшую площадь полной поверхности (рассмотреть два способа решения – для ребят, имеющих высокий балл по математике).
ЗАДАЧА 2. Из круглого бревна диаметром 50см требуется вырезать балку прямоугольного сечения набольшей площади. Какие должны быть размеры сторон поперечного сечения балки?
| 
